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Formule de séquence de Fibonacci : Comment trouver des nombres de Fibonacci

La séquence de Fibonacci est un modèle de nombres qui se reproduit dans toute la nature.

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Qu'est-ce que la séquence de Fibonacci ?

La suite de Fibonacci est l'une des formules les plus connues de la théorie des nombres et l'une des suites entières les plus simples définies par une relation de récurrence linéaire. Dans la séquence de nombres de Fibonacci, chaque nombre de la séquence est la somme des deux nombres qui le précèdent, 0 et 1 étant les deux premiers nombres. La série de nombres de Fibonacci commence comme suit : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, et ainsi de suite. La séquence de Fibonacci est utile pour ses applications en mathématiques et statistiques avancées, en informatique, en économie et en nature.

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L'origine de la séquence de Fibonacci

La séquence de Fibonacci apparaît pour la première fois dans d'anciens textes sanskrits dès 200 avant JC, mais la séquence n'était pas largement connue du monde occidental jusqu'en 1202, lorsque le mathématicien italien Leonardo Pisano Bogollo l'a publiée dans son livre de calculs intitulé Liber Abaci . Léonard de Vinci portait également le surnom de Léonard de Pise, mais ce n'est qu'en 1838 que les historiens lui ont donné le surnom de Fibonacci (traduisant à peu près « fils de Bonacci »). En plus de populariser la séquence de Fibonacci, le livre de Fibonacci Liber Abaci a plaidé pour l'utilisation des chiffres hindous-arabes (1, 2, 3, 4, etc.) et a aidé à remplacer le système de chiffres romains (I, II, III, IV, etc.) dans toute l'Europe.

Dans Liber Abaci , la séquence de Fibonacci a en fait été utilisée pour répondre à un problème mathématique hypothétique impliquant la croissance de la population de lapins : si une seule paire de lapins s'accouple à la fin de chaque mois, alors donner naissance à une nouvelle paire de lapins un mois après leur les lapins suivent le même schéma, combien de couples ou de lapins existeront-ils en un an ? Voici comment vous commenceriez à répondre à ce problème :

  • Commencer avec 1 paire de lapins.
  • A la fin du premier mois, il n'y a encore que 1 couple de lapins depuis qu'ils se sont accouplés, mais n'ont pas encore mis bas.
  • A la fin du deuxième mois, il y a deux des paires de lapins depuis la première paire ont maintenant donné naissance à une deuxième paire.
  • A la fin du troisième mois, il y a 3 paires de lapins. C'est parce que la première paire a donné naissance à une troisième paire, mais la deuxième paire s'est seulement accouplée.
  • À la fin du quatrième mois, il y a maintenant 5 paires de lapins. C'est parce que la première paire a donné naissance à une autre paire et que la deuxième paire a maintenant donné naissance à sa première paire.

Comme vous pouvez le voir, ce modèle 1, 1, 2, 3, 5 suit la séquence de Fibonacci. Si vous continuez pendant 12 mois, le nombre de paires sera égal à 144.

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Formule du nombre de Fibonacci

Pour calculer chaque nombre de Fibonacci successif dans la série de Fibonacci, utilisez la formule

Formule du nombre de Fibonacci

où 𝐹 est le ième nombre de Fibonacci dans la séquence, et les deux premiers nombres, 𝐹0 et 𝐹1 , sont fixés à 0 et 1 respectivement.

Le seul problème avec cette formule est qu'il s'agit d'une formule récursive, ce qui signifie qu'elle définit chaque nombre de la séquence en utilisant les nombres précédents. Donc, si vous vouliez calculer le dixième nombre dans la séquence de Fibonacci, vous devriez d'abord calculer le neuvième et le huitième, mais pour obtenir le neuvième nombre, vous auriez besoin du huitième et du septième, et ainsi de suite.

Pour trouver n'importe quel nombre dans la séquence de Fibonacci sans aucun des nombres précédents, vous pouvez utiliser une expression fermée appelée formule de Binet :

Formule du nombre de Fibonacci

Dans la formule de Binet, la lettre grecque phi (φ) représente un nombre irrationnel appelé nombre d'or : (1 + √ 5)/2, qui arrondi au millième le plus proche est égal à 1,618.

Séquence de Fibonacci et nombre d'or

Le nombre d'or (ou nombre d'or) est un nombre irrationnel qui se produit lorsque le rapport de deux nombres est le même que le rapport de leur somme au plus grand des deux nombres. La séquence de Fibonacci est étroitement liée au nombre d'or car à mesure que les nombres de Fibonacci augmentent, le rapport de deux nombres de Fibonacci consécutifs se rapproche de plus en plus du nombre d'or.

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Il y a beaucoup de désinformation sur l'endroit où vous pouvez trouver la séquence de Fibonacci et le nombre d'or dans le monde réel ; malgré ce que vous pouvez lire, le nombre d'or n'a pas été utilisé pour construire les pyramides de Gizeh, et le coquillage nautile ne produit pas de nouvelles cellules basées sur la séquence de Fibonacci.

Mais ces propriétés mathématiques derrière la séquence de Fibonacci et le nombre d'or apparaissent dans la nature de plusieurs manières. Par exemple, vous pouvez trouver le nombre d'or dans la disposition en spirale des feuilles (appelée phyllotaxie) sur certaines plantes, ou dans la disposition en spirale dorée des pommes de pin, du chou-fleur, des ananas et de la disposition des graines dans les tournesols. De plus, le nombre de pétales sur une fleur est généralement un nombre de Fibonacci.

De plus, l'arbre généalogique d'un drone abeille suit la séquence de Fibonacci. En effet, un drone mâle éclot d'un œuf non fécondé et n'a qu'un seul parent, tandis que les abeilles femelles ont deux parents. Il en résulte un arbre généalogique d'un drone composé d'un parent, de deux grands-parents, de trois arrière-grands-parents, de cinq arrière-arrière-grands-parents, et ainsi de suite tout au long de la séquence de Fibonacci.

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